Marcus du Sautoy: La música de los números primos
Acantilado, Barcelona, 2007
«¿Quién de nosotros no se alegraría al levantar el velo tras el que se oculta el porvenir, dejando caer su mirada sobre los futuros avances de nuestra ciencia y sobre los secretos de su desarrollo?». Empezaba un nuevo siglo, y David Hilbert (1862-1943), el mejor matemático de su generación, había tomado la palabra en la Sorbona para hablar por primera vez en un Congreso Internacional de Matemáticos, no de lo que había sido demostrado, sino de lo que quedaba por descubrir. Hilbert estaba convencido de que el motor de progreso de las matemáticas era la resolución de problemas, y de que cualquier campo en el que no surgieran preguntas nuevas a diario era una rama muerta de la disciplina. Por eso, insistió mucho en qué significaba realmente resolver un problema y, para fijar sus ideas, escogió las veintitrés cuestiones abiertas «que trazarían —a su juicio— el camino de los exploradores matemáticos del siglo veinte» (pág. 10). Cien años después, en el Collège de France, un selecto grupo de matemáticos de fama mundial hizo pública, siguiendo el espíritu de Hilbert, su selección de los siete Problemas del Milenio. Solo uno aparecía en las dos listas: la «Hipótesis de Riemann», sobre la que trata este libro excepcional que reseñamos.
Del mismo modo que los elementos de la tabla periódica son los ladrillos básicos de cualquier molécula del universo, los números primos —aquellos que no pueden expresarse como producto dedos números menores— son los «átomos de la aritmética» (pág. 37), pues todos los demás se obtienen a partir de ellos. Los primeros términos de la sucesión de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Hay veinticinco primos menores que 100, pero apenas dos entre 10 000 000 y10 000 100. Sería razonable, a la vista de las pruebas, pensar que, a medida que los números se hacen mayores, aumenta la distancia que hay que recorrer para encontrar un nuevo primo. Pero otra conjetura abierta, la de los primos gemelos, postula que existen infinitos pares de números primos situados a la mínima distancia posible. La distribución de esta clase de números parecía completamente aleatoria, igual que el lanzamiento de una moneda al aire, hasta que el matemático alemán Bertrand Riemann (1826-1866) consiguió describirla extendiendo la función zeta -(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s +… a valores en el plano. La hipótesis de Riemann afirma que todos los puntos en los que esta función se anula (ceros) caen sobre una misma recta vertical. Con ayuda de potentísimos ordenadores, se ha conseguido probar que más de mil quinientos millones de soluciones pertenecen a esta recta, pero ningún argumento asegura todavía que el siguiente cero esté alineado con los demás.
A pesar de su juventud, Marcus du Sautoy (Londres, 1965) es uno de los mejores conocedores de la función zeta. Enérgico, vitalista, combina la soledad de la alta investigación matemática con una encomiable labor de difusión al gran público, a través de conferencias, artículos en los periódicos e intervenciones en la radio y la televisión. La música de los números primos es fruto de todas estas experiencias. Tres núcleos bien diferenciados vertebran el relato: en la primera parte (págs. 9-137), se introducen los números primos y se comenta la importancia de la hipótesis de Riemann, que Du Sautoy considera «la longitud de las matemáticas» (pág. 36), en referencia al problema sobre cómo medir la posición de los barcos después de una jornada de navegación, que atormentaba a los marineros del siglo diecisiete, y cuya solución, debida a John Harrison, supuso toda una revolución técnica. En estas páginas, el argumento de Euclides sobre la infinitud de los números primos sirve al autor para ilustrar qué significa una demostración matemática: «este paso de conjetura o hipótesis a teorema es lo que indica la madurez de un enunciado» (pág. 53).
En la segunda parte (págs. 138-330), Du Sautoy presenta el dramatis personae de matemáticos que han intentado resolver la hipótesis de Riemann, pues «el tortuoso camino que ha seguido la historia de los números primos es el resultado de vidas concretas» (pág. 35). El lector se encuentra así con figuras de la talla de Euler, Gauss, por supuesto, el propio Riemann, Cauchy, Dirichlet, Hilbert, Landau, Hardy y Littlewood, Ramanujan, Turing, Chebychev, Siegel, Selberg, André Weil; e incluso de matemáticos vivos como Enrico Bombieri, Peter Sarnak y Alain Connes. También Gödel hace su aparición (págs. 287-294), no tanto por su estudio de la función zeta, sino por los cambios psicológicos en el modo de enfrentarse a la hipótesis de Riemann —bastante discutibles, por otra parte— que habrían podido originar sus teoremas de incompletitud. Estos personajes permiten al autor un tratamiento no lineal de la historia, en el que la obra de cada uno de ellos aparece iluminada por numerosas anécdotas biográficas: «las historias de un contable indio, de un espía francés que se libró de ser ejecutado y de un judío húngaro fugitivo de la persecución de la Alemania nazi tienen como denominador común la obsesión por los números primos» (pág. 35).
La tercera parte del libro (págs. 330-513), más técnica que las anteriores, se ocupa de la importancia de los números primos en la criptografía, y muestra un sorprendente nexo entre su distribución y la física cuántica. En particular, se describe con gran detalle el rsa, el cifrado de clave pública que permite codificar datos como el número de nuestra tarjeta de crédito durante una transacción electrónica, y que está basado en la dificultad de encontrar los primos que dividen a un número gigantesco, de al menos ciento veinte cifras. Llegado este punto, el lector no debe tener miedo de no entenderlo todo, aunque le tengan acostumbrado a ello ciertas modas pedagógicas, porque, incluso cuando no logre hacerse una idea de qué tienen que ver los niveles energéticos de un átomo o la teoría del caos con los números primos, se encontrará con una primera aproximación excelente al lenguaje del futuro. La música de los números primos es un libro pensado para cualquier lector con inquietudes. No solo las metáforas musicales recorren la obra: las superficies de Riemann son «paisajes» en los que se puede viajar en distintas direcciones, los ceros de la función zeta representan «puntos a nivel del mar», y la teoría de las congruencias se explica echando mano de unas hipotéticas «calculadoras de reloj».La traducción, firmada por Joan Miralles, mejoraría sustancialmente si una última lectura hubiese eliminado faltas de concordancia y erratas, y si el traductor hubiera contrastado algunos términos matemáticos. Así, «Fermat’s Little theorem», un teorema en absoluto trivial, aunque su demostración ocupe un par de líneas, no es «el teorema menor de Fermat», como se repite en al menos veinte páginas, sino «el pequeño teorema de Fermat». Pero ninguna de estas minucias consigue ensombrecer los grandes aciertos de este libro, que se puede leer como una novela desde la primera página, como pretendía Du Sautoy, y que marcará nuevos horizontes en las obras de divulgación matemática.
Javier Fresán
